Algèbre Linéaire   (répertoire)
notations pour cette page :
X, Y, D, i, j, k, u, v, w représentent des vecteurs
x, y, z représentent des composantes
a, b, c, k, l, m, α, β, γ représentent des réels

• un espace vectoriel E est un groupe additif avec un produit externe sur un corps (pour nous : les réels)
  • opération interne (l'addition) : X , Y ∈ E ⇒ X + Y ∈ E
    groupe commutatif : X+Y = Y+X, élément neutre 0, élément opposé −X.
  • opération externe : X ∈ E et a ∈ R ⇒ a X ∈ E
    distributive par rapport à + de E : a(X+Y) = aX + aY, associative : a(bX)=(ab)X, l'élément neutre de R est neutre 1.X = X
    ⇒ 0_R X = 0_E
  • exemple : le champ électrique que l'on additionne vectoriellement : E_total = E₁ + E₂
    et que l'on multiplie par la charge qui le produit : 2 q → 2 E
• Une application f d'un espace vectoriel E dans un espace vectoriel F est linéaire si :
  l'addition de 2 vecteurs est conservée : f(X + Y) = f(X) + f(Y)
  la multiplication d'un vecteur par un nombre réel est conservée : f(a X) = a f(X)
  que l'on peut regrouper en : f(a X + b Y) = a f(X) + b f(Y)
• remarque : tous les vecteurs, les droites, les plans partent de l'origine. (nous sommes en linéaire et non en affine)
• exemples : (on peut vérifier toutes les propriétés ci-dessus)
  • identité : f(X) = X
  • homothétie de centre O : f(X) = a X
  • projection d'un vecteur 2D ou 3D sur une droite (1D) : f(X) = X . D   produit scalaire où D est un vecteur)
    vecteur X = (x,y) ∈ R² →→→ f →→→ f(X) = a x + b y ∈ R   avec D = (a, b)
    vecteur X = (x,y,z) ∈ R³ →→→ f →→→ f(X) = a x + b y + c z ∈ R   avec D = (a, b, c)
  • projection d'un vecteur 3D sur un plan (2D)
    projection orthogonale sur z=0 : vecteur X = (x,y,z) ∈ R³ →→→ f →→→ f(X) = (x,y) ∈ R²
    projection parallèlement à w sur le plan défini par (u,v) :
      si X = a i + b j + c k = α u + β v + γ w : f(X) = α u + β v ∈ espace de base (u,v) de dimension 2
  • si X=(x,y,z) : f(X) = (a x, b y, c z) ∈ R³
  • rotation : f(X) = rotation du vecteur X d'un angle α par rapport à un axe passant par O
• représentation matricielle : matrice d'une application f (en 2D, facilement généralisable) :
  • du fait de la linéarité : ∀ X = x i + y j : f(X) = x f(i) + y f(j)
    il suffit de connaître f(i), f(j) pour connaître entièrement f
  • la matrice de f dans la base (i,j) est formée des 2 vecteurs colonnes : (f(i), f(j))
  • exemple : f(i) = a i + b j ; f(j) = c i + d j

    	f(i)	f(j)	base
    A	a	c	i
    	b	d	j

  • X = x i + y j : f(X) = x f(i) + y f(j)
    toute la colonne f(i) est multipliée par x
    toute la colonne f(j) est multipliée par y

    						base
    	↓	←	←	X =	x	i
    	↓	↓	←		y	j
    	f(i)	f(j)	base
    A =	a	c	i	A X =	x a + y c
    	b	d	j		x b + y d

    f(X) = (x a + y c ; x b + y d)
• Changement de base : nouvelle base (u,v) avec u = a' i + b' j et v = c' i + d' j
  • la matrice de la nouvelle base dans la base (i,j) est formée des 2 vecteurs colonnes : (u, v)
  • exemple : u = a' i + b' j ; v = c' i + d' j
    on pose : Δ = a' d' − b' c'   (déterminant de la matrice ≠ discriminant équation second degré)

    	u	v	base		i	j	base
    P =	a'	c'	i	inversion de la matrice P : P−1 =	d'/Δ	−c'/Δ	u
    	b'	d'	j		−b'/Δ	a'/Δ	v

    calcul de P⁻¹ = résolution du système :

    							||	élim. j	||	élim. i
    u	=	a'	i	+	b'	j	||	× d'	||	× − c'
    v	=	c'	i	+	d'	j	||	× − b'	||	× a'

    élimination de j : d' u − b' v = Δ i
    élimination de i : − c' u + a' v = Δ j
  • quelle sera la matrice B de f dans la base (u,v) ?
    • f(u) = α u + β v ; f(v) = γ u + δ v
      on sait : f(u) = f(a' i + b' j) = a' f(i) + b' f(j)   et   f(v) = f(c' i + d' j) = c' f(i) + d' f(j)
      mais il faut exprimer f(i) et f(j) en fonction de u et v

      									u	v	base
      					↙	←	←	P	a'	c'	i
      					↓	↙	←		b'	d'	j
      					↓	↓
      					f(i)	f(j)	base		f(u)	f(v)	base
      	↙	←	←	A	a	c	i	A P			i
      	↓	↙	←		b	d	j				j
      	↓	↓
      	i	j	base						f(u)	f(v)	base
      P−1	d'/Δ	−c'/Δ	u					P−1 A P			u
      	−b'/Δ	a'/Δ	v								v

      B = P⁻¹ A P
      • on part de P (en haut à droite) expression de (u,v) en (i,j)
        les matrices se connectent comme des prises électriques :
        les lignes de P : base (i, j) sont multipliées par les colonnes de A : (f(i), f(j))
      • on applique A (f(i),f(j)) (au milieu) : A P = (f(u),f(v)) MAIS dans la base (i,j)
      • on applique P⁻¹ (en bas à gauche) qui transforme (i,j) en (u,v) : B = P⁻¹ A P = (f(u),f(v)) dans la base (u,v)
        les lignes de A P : base (i, j) sont multipliées par les colonnes de P⁻¹ : (i, j)
        P⁻¹ traduit le résultat en fonction de (u,v)
• Point important : une matrice (un vecteur colonne) est toujours exprimée dans une base particulière.
  il faut toujours se souvenir dans quelle base a été faite la matrice (le vecteur colonne).

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