Tables de logarithmes   ([répertoire])

• exponentielle() entière ou puissance :
  exponentielle à base q notée : exp_q(n) = qⁿ
  où q ∈ ℝ avec q > 0 pour éviter les oscillations.
  qⁿ = q × q × . . . × q   (n fois)
  propriétés :
  • exp_q(0) = 1   et   exp_q(1) = q
  • somme → produit : q² × q³ = (q × q) × (q × q × q) = q²⁺³
    soit exp(a+b) = exp(a) × exp(b)
  • produit → puissance : (q²)³ = (q × q) × (q × q) × (q × q) = q^2×3
    soit exp(a×b) = (exp(a))^b
   
• logarithme() :
  logarithme à base q noté : log_q() est la fonction réciproque de exp_q()
  fonction réciproque : si y = f(x), la fonction réciproque est x = f⁻¹(y)
  au lieu de lire la courbe de x → y , on lit la courbe de y → x
  en échangeant x et y, on obtient la courbe symétrique par rapport à la première bissectrice
  
  propriétés :
  • réciproque de exp() :   log(exp(x)) = x   et   exp(log(x)) = x
  log(1) = log(exp(0)) = 0
  log_q(q) = log_q(exp_q(1)) = 1
  en posant x = exp(a) et y = exp(b) :
  on a : a = log(x)   et   b = log(y)
  • produit → somme :
  log(x y) = log(exp(a) × exp(b)) = log(exp(a+b)) = a + b = log(x) + log(y)
  • puissance → produit :
  log(x^y) = log(exp(a)^y) = log(exp(a×y)) = a × y = y log(x)
   
• Courbes exp_q(n) = qⁿ :

  q > 1	0 < q < 1	0	q < 0

  q → 1 par valeurs positives, la fonction tend vers une fonction continue ↗
  pour n ∈ [0 ; ln(10)/ln(q)], on obtient l'image qⁿ ∈ [1;10]
  la fonction est très régulière et on peut interpoler entre 2 valeurs pour gagner un peu de précision.
  l'image [1,10] est stable et très bien discrétisée quand q → 1
  q → 1 par valeurs négatives, la fonction tend vers une fonction continue ↘ et l'antécédent de [1;10] est [ln(10)/ln(q) ; 0]
  pour obtenir l'image [1;10] avec q=0,9999 , il faut faire varier n dans [−23 025 ; 0]
  C'est la table des inverses des valeurs précédentes car q⁻ⁿ = 1/qⁿ
  q → −1, la fonction n'est pas monotone : q⁰, q¹ < 0, q² > 0, q³ < 0, q⁴ > 0, . . .
  il n'y a pas de fonction réciproque
  interpolation absurde : la fonction oscille d'une valeur à la suivante
   
• Wikipedia : Table_de_logarithmes : création d'une table de logarithmes
  en prenant comme raison q de la progression géométrique q = 1+10⁻⁴ : u_n = qⁿ avec n ≥ 0
  Pour obtenir l'image [1, 10] il faut faire varier n de 0 à environ 2,3×10⁴.
  ( car ln(10) ≈ 2,3026 = n ln(q) ≈ n × 10⁻⁴ )
  ce qui permet d'obtenir les logarithmes à base 1,0001 par lecture inverse avec 4 chiffres de précision
  ( Pour obtenir une précision de 6 chiffres, il faut prendre q = 1+10⁻⁶ et calculer 2,3×10⁶ nombres)
   

  n	1,0001n
  0	1
  1	1,0001
  . . .	. . .
  6932	~ 2
  . . .	. . .
  10987	~ 3
  . . .	. . .
  17919	~ 6
  . . .	. . .
  23027	~ 10
  log1,0001(y)	y

  • exemple 1 : multiplier 2 × 3
  on lit de droite à gauche : log_q(2) = 6932   et   log_q(3) = 10987
  on additionne : log_q(2) + log_q(3) = 17919
  on lit de gauche à droite : q¹⁷⁹¹⁹ = 6
  • exemple 2 : multiplier 2000 × 0,03
  Pour les nombres > 10 ou < 1, il faut les écrire en notation scientifique
  2000 = 2×10³   et   0,03 = 3×10⁻²
  additionner les exposants : 2000 × 0,03 = 2×10³ × 3×10⁻² = 2 × 3 × 10³⁻² = 6 × 10¹ = 60
   
• Table des logarithmes à base 10 : y = qⁿ = 10^x
  soit : log_q(y) = n log_q(q) = x log_q(10)
  x = n / log_q(10)
  car log_q(q) = 1 et log_q(10) est l'antécédent de 10 de la fonction q^log_q(10) = 10
  dont on déduit par lecture inverse : x = log₁₀(y)   où y ∈ [1;10]
  Pour recentrer les logarithmes de la table dans [0,1] : on divise la colonne 1 par log_1,0001(10) = 23027
  formule : log₁₀(x) = log_q(x) / log_q(10)
  log₁₀() des puissances de 10 : log₁₀(10ⁿ) = n log₁₀(10) = n

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