Plans projectifs finis

Géométrie projective finie (répertoire)
Plans projectifs finis

Sans les points à l'infini (pas projective) : n² points et n(n+1) droites
avec les points à l'infini : n+1 (directions de droites //)
ces points à l'infini sont sur la droite de l'infini
bilan : n² + n + 1 points et n² + n + 1 droites
chaque droite contient n+1 points
chaque point appartient à n+1 droites
méthode de calcul des droites pour un nombre n premier :
description de la table de connexion droite[point] = 1 si la point appartient à la droite :
1) droites d=[0 ... n] : elles contiennent le point 0 + n points consécutifs :
d0 = [0, 1, 2, 3, . . . , n]
d1 = [0, n+1, n+2, n+3, . . . , 2n]
. . .
ce qui se traduit dans la table de connexion par des horizontales

2) points p=[0 ... n] : ils appartiennent aux droites d=[1+(p n) ... (p+1) n]
ce qui se traduit dans la table de connexion par des verticales

3) ensuite, on remplit les blocs n*n avec des diagonales décalées
soit dd=[0 ... n-1] le bloc ligne des n droites contenant le point dd+1
soit pp=[0 ... n-1] le bloc colonne des n points appartenant à la droite pp+1
pour le bloc (dd,pp), le décalage de diagonale x = (dd*pp)%n !

exemples de la connexion_droite_point(n = 2, 3, 5)
à part les droites horizontales H et verticales V :
table des blocs n*n : Dx = Diagonale décalée de x

n = 2 : 7 points, 7 droites, (3 points/droite, 3 droites/point)
connexion droite-point(n=2)

Dr\Pt  0  1  2    3  4    5  6

  0    1  1  1    .  .    .  .    
  1    1  .  .    1  1    .  .    
  2    1  .  .    .  .    1  1    

  3    .  1  .    1  .    1  .    
  4    .  1  .    .  1    .  1 (cercle)

  5    .  .  1    1  .    .  1    
  6    .  .  1    .  1    1  .
  
  En résumé : par bloc
    pp=  -  0  1
  dd=-  VH  H  H   Horizontal
  dd=0   V  D0 D0  Diagonal
  dd=1   V  D0 D1
     Vertical

n = 3 : 13 points, 13 droites, (4 points/droite, 4 droites/point)
connexion droite-point(n=3)

Dr\Pt  0  1  2  3    4  5  6    7  8  9   10 11 12

  0    1  1  1  1    .  .  .    .  .  .    .  .  .    
  1    1  .  .  .    1  1  1    .  .  .    .  .  .    
  2    1  .  .  .    .  .  .    1  1  1    .  .  .    
  3    1  .  .  .    .  .  .    .  .  .    1  1  1    

  4    .  1  .  .    1  .  .    1  .  .    1  .  .    
  5    .  1  .  .    .  1  .    .  1  .    .  1  .    
  6    .  1  .  .    .  .  1    .  .  1    .  .  1    

  7    .  .  1  .    1  .  .    .  1  .    .  .  1    
  8    .  .  1  .    .  1  .    .  .  1    1  .  .    
  9    .  .  1  .    .  .  1    1  .  .    .  1  .    

 10    .  .  .  1    1  .  .    .  .  1    .  1  .    
 11    .  .  .  1    .  1  .    1  .  .    .  .  1    
 12    .  .  .  1    .  .  1    .  1  .    1  .  .    
 
  En résumé : par bloc
    pp=  -  0  1  2
  dd=-  VH  H  H  H   Horizontal
  dd=0   V  D0 D0 D0  Diagonal
  dd=1   V  D0 D1 D2
  dd=2   V  D0 D2 D1
     Vertical

n = 5 : 31 points, 31 droites, (5 points/droite, 5 droites/point)
connexion droite-point(n=5)

Dr\Pt  0  1  2  3  4  5    6  7  8  9 10   11 12 13 14 15   16 17 18 19 20   21 22 23 24 25   26 27 28 29 30

  0    1  1  1  1  1  1    .  .  .  .  .    .  .  .  .  .    .  .  .  .  .    .  .  .  .  .    .  .  .  .  .    
  1    1  .  .  .  .  .    1  1  1  1  1    .  .  .  .  .    .  .  .  .  .    .  .  .  .  .    .  .  .  .  .    
  2    1  .  .  .  .  .    .  .  .  .  .    1  1  1  1  1    .  .  .  .  .    .  .  .  .  .    .  .  .  .  .    
  3    1  .  .  .  .  .    .  .  .  .  .    .  .  .  .  .    1  1  1  1  1    .  .  .  .  .    .  .  .  .  .    
  4    1  .  .  .  .  .    .  .  .  .  .    .  .  .  .  .    .  .  .  .  .    1  1  1  1  1    .  .  .  .  .    
  5    1  .  .  .  .  .    .  .  .  .  .    .  .  .  .  .    .  .  .  .  .    .  .  .  .  .    1  1  1  1  1    

  6    .  1  .  .  .  .    1  .  .  .  .    1  .  .  .  .    1  .  .  .  .    1  .  .  .  .    1  .  .  .  .    
  7    .  1  .  .  .  .    .  1  .  .  .    .  1  .  .  .    .  1  .  .  .    .  1  .  .  .    .  1  .  .  .    
  8    .  1  .  .  .  .    .  .  1  .  .    .  .  1  .  .    .  .  1  .  .    .  .  1  .  .    .  .  1  .  .    
  9    .  1  .  .  .  .    .  .  .  1  .    .  .  .  1  .    .  .  .  1  .    .  .  .  1  .    .  .  .  1  .    
 10    .  1  .  .  .  .    .  .  .  .  1    .  .  .  .  1    .  .  .  .  1    .  .  .  .  1    .  .  .  .  1    

 11    .  .  1  .  .  .    1  .  .  .  .    .  1  .  .  .    .  .  1  .  .    .  .  .  1  .    .  .  .  .  1    
 12    .  .  1  .  .  .    .  1  .  .  .    .  .  1  .  .    .  .  .  1  .    .  .  .  .  1    1  .  .  .  .    
 13    .  .  1  .  .  .    .  .  1  .  .    .  .  .  1  .    .  .  .  .  1    1  .  .  .  .    .  1  .  .  .    
 14    .  .  1  .  .  .    .  .  .  1  .    .  .  .  .  1    1  .  .  .  .    .  1  .  .  .    .  .  1  .  .    
 15    .  .  1  .  .  .    .  .  .  .  1    1  .  .  .  .    .  1  .  .  .    .  .  1  .  .    .  .  .  1  .    

 16    .  .  .  1  .  .    1  .  .  .  .    .  .  1  .  .    .  .  .  .  1    .  1  .  .  .    .  .  .  1  .    
 17    .  .  .  1  .  .    .  1  .  .  .    .  .  .  1  .    1  .  .  .  .    .  .  1  .  .    .  .  .  .  1    
 18    .  .  .  1  .  .    .  .  1  .  .    .  .  .  .  1    .  1  .  .  .    .  .  .  1  .    1  .  .  .  .    
 19    .  .  .  1  .  .    .  .  .  1  .    1  .  .  .  .    .  .  1  .  .    .  .  .  .  1    .  1  .  .  .    
 20    .  .  .  1  .  .    .  .  .  .  1    .  1  .  .  .    .  .  .  1  .    1  .  .  .  .    .  .  1  .  .    

 21    .  .  .  .  1  .    1  .  .  .  .    .  .  .  1  .    .  1  .  .  .    .  .  .  .  1    .  .  1  .  .    
 22    .  .  .  .  1  .    .  1  .  .  .    .  .  .  .  1    .  .  1  .  .    1  .  .  .  .    .  .  .  1  .    
 23    .  .  .  .  1  .    .  .  1  .  .    1  .  .  .  .    .  .  .  1  .    .  1  .  .  .    .  .  .  .  1    
 24    .  .  .  .  1  .    .  .  .  1  .    .  1  .  .  .    .  .  .  .  1    .  .  1  .  .    1  .  .  .  .    
 25    .  .  .  .  1  .    .  .  .  .  1    .  .  1  .  .    1  .  .  .  .    .  .  .  1  .    .  1  .  .  .    

 26    .  .  .  .  .  1    1  .  .  .  .    .  .  .  .  1    .  .  .  1  .    .  .  1  .  .    .  1  .  .  .    
 27    .  .  .  .  .  1    .  1  .  .  .    1  .  .  .  .    .  .  .  .  1    .  .  .  1  .    .  .  1  .  .    
 28    .  .  .  .  .  1    .  .  1  .  .    .  1  .  .  .    1  .  .  .  .    .  .  .  .  1    .  .  .  1  .    
 29    .  .  .  .  .  1    .  .  .  1  .    .  .  1  .  .    .  1  .  .  .    1  .  .  .  .    .  .  .  .  1    
 30    .  .  .  .  .  1    .  .  .  .  1    .  .  .  1  .    .  .  1  .  .    .  1  .  .  .    1  .  .  .  .  
 
  En résumé : par bloc 
     pp=  -  0  1  2  3  4
  dd=-   VH  H  H  H  H  H   Horizontal
  dd=0    V  D0 D0 D0 D0 D0  Diagonal
  dd=1    V  D0 D1 D2 D3 D4
  dd=2    V  D0 D2 D4 D1 D3
  dd=3    V  D0 D3 D1 D4 D2
  dd=4    V  D0 D4 D3 D2 D1
       Vertical

la méthode précédente ne fonctionne pas pour les nombres non premiers
on peut quand même construire des plans projectifs finis pour n = puissance d'un nombre premier.
exemple n = 2² = 4

connexion droite-point(n=4)

Dr\Pt  0  1  2  3  4    5  6  7  8    9 10 11 12   13 14 15 16   17 18 19 20

  0    1  1  1  1  1    .  .  .  .    .  .  .  .    .  .  .  .    .  .  .  .    
  1    1  .  .  .  .    1  1  1  1    .  .  .  .    .  .  .  .    .  .  .  .    
  2    1  .  .  .  .    .  .  .  .    1  1  1  1    .  .  .  .    .  .  .  .    
  3    1  .  .  .  .    .  .  .  .    .  .  .  .    1  1  1  1    .  .  .  .    
  4    1  .  .  .  .    .  .  .  .    .  .  .  .    .  .  .  .    1  1  1  1    

  5    .  1  .  .  .    1  .  .  .    1  .  .  .    1  .  .  .    1  .  .  .    
  6    .  1  .  .  .    .  1  .  .    .  1  .  .    .  1  .  .    .  1  .  .    
  7    .  1  .  .  .    .  .  1  .    .  .  1  .    .  .  1  .    .  .  1  .    
  8    .  1  .  .  .    .  .  .  1    .  .  .  1    .  .  .  1    .  .  .  1    

  9    .  .  1  .  .    1  .  .  .    .  1  .  .    .  .  1  .    .  .  .  1    
 10    .  .  1  .  .    .  1  .  .    1  .  .  .    .  .  .  1    .  .  1  .    
 11    .  .  1  .  .    .  .  1  .    .  .  .  1    1  .  .  .    .  1  .  .    
 12    .  .  1  .  .    .  .  .  1    .  .  1  .    .  1  .  .    1  .  .  .    

 13    .  .  .  1  .    1  .  .  .    .  .  1  .    .  .  .  1    .  1  .  .    
 14    .  .  .  1  .    .  1  .  .    .  .  .  1    .  .  1  .    1  .  .  .    
 15    .  .  .  1  .    .  .  1  .    1  .  .  .    .  1  .  .    .  .  .  1    
 16    .  .  .  1  .    .  .  .  1    .  1  .  .    1  .  .  .    .  .  1  .    

 17    .  .  .  .  1    1  .  .  .    .  .  .  1    .  1  .  .    .  .  1  .    
 18    .  .  .  .  1    .  1  .  .    .  .  1  .    1  .  .  .    .  .  .  1    
 19    .  .  .  .  1    .  .  1  .    .  1  .  .    .  .  .  1    1  .  .  .    
 20    .  .  .  .  1    .  .  .  1    1  .  .  .    .  .  1  .    .  1  .  .    

  En résumé : par bloc 
 Dx = Diagonale décalée de x 
 Ax = Anti-Diagonale décalée de x. 
     pp=     0  1  2  3
         VH  H  H  H  H   Horizontal
  dd=0    V  D0 D0 D0 D0  Diagonal
  dd=1    V  D0 A2 D2 A0  Anti-Diagonal
  dd=2    V  D0 D2 A0 A2
  dd=3    V  D0 A0 A2 D2
       Vertical

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