Laplace Transform (transformation de Laplace)   [répertoire]

• Definition : L(f) = F(s) = ∫₀^∞ e^−st f(t) dt
  Laplace Transform
  voir :   Table     Properties
  Ne s'intéresse qu'aux fonctions commençant à t ≥ 0
  Croissant moins vite que e^t : ∄ L(e^t)   mais L(e^−t) = 1 / (s+1)
  OK pour les puissances de t : L(tⁿ) = n!/sⁿ⁺¹
• Properties :
  • L(constante) = L(1) = ∫₀^∞ e^−st dt = [e^−st / (−s)]₀^∞ = 1 / s
  • L(Heaviside) = L(U(t−a)) = ∫_a^∞ e^−st dt = [e^−st / (−s)]_a^∞ = 0 − [e^−sa / (−s)] = e^−sa / s
  • L(exponentielle) = L(e^at) = ∫₀^∞ e^(a−s)t dt = [e^(a−s)t / (a−s)]₀^∞ = 1 / (s−a)   (avec a < 0)
  • L(∫f) = ∫₀^∞ e^−st ∫f dt
    Intégration par parties : (uv)' = u'v + uv' ⇒ ∫u'v dx = [uv] − ∫uv' dx
    On intègre l'exponentielle et on dérive l'intégrale :
    L(∫f) = [e^−st/(−s) ∫f]₀^∞ − ∫₀^∞ e^−st/(−s) f dt = [∫f](0)/s + L(f)/s
  • L(f) = ∫₀^∞ e^−st f dt = F(s)
    On dérive F(s) par rapport à s : F'(s) = ∫₀^∞ −t e^−st f dt = − L(tf)
    L(tf) = − F'(s)
  • L(1) = 1/s ⇒ L(t) = L(1×t) = − (1/s)' = 1/s²
    soit F_n(s) = L(tⁿ) alors F_n+1(s) = L(tⁿ⁺¹) = − F_n'(s)
    hérédité : si F_n(s) = n!/sⁿ⁺¹ ⇒ F_n+1(s) = (n+1)!/sⁿ⁺²
    L(tⁿ) = n!/sⁿ⁺¹ ∀ n ≥ 0
• Application Condensateur + Résistance en série : 1/C ∫ i dt + Ri = V
  • Exemples : applications
  • Soit I = I(s) = L(i(t))
    1/C[I/s + ∫idt(0)/s] + R I = V/s
    1/C[I/s + q(0)/s] + R I = V/s
    I (1/C + Rs) = V − q(0)/C
    ⇒ I(s) = (V − q(0)/C) / (1/C + Rs) = a (1 / (b+s))
      avec a = (V/R − q(0)/(RC)) et b = 1/(RC)
  • On cherche la transformation Laplace inverse de I(s) = i(t)
    i(t) = a e^−bt = (V/R − q(0)/(RC)) e^−t/(RC)
• Comparaison à la méthode directe : 1/C ∫ i dt + Ri = V
  • On dérive : 1/C i + R di/dt = 0
    di/i = − dt/(RC) ⇒ i(t) = K e^−t/(RC) ∀ K ∈ ℝ
  • Remise dans l'équation initiale :
    1/C [−RC K e^−t/(RC)]₀^t + R K e^−t/(RC) = V
    −R K e^−t/(RC) + R K + R K e^−t/(RC) = V
    K = V/R ⇒ i(t) = V/R e^−t/(RC)
  • En utilisant q(0) ≠ 0 : q(0)/C + 1/C ∫ i dt + Ri = V   (équation rigoureuse)
    on remplace V par (V − q(0)/C) :
    i(t) = (V − q(0)/C)/R e^−t/(RC)

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