Primitives de base à connaître   [répertoire]

• propriétés des primitives :
  • les primitives sont définies à une constante réelle k près.
    (puisque la dérivée d'une constante k : k' = 0)
  • la primitive d'une somme : f(x) + g(x) est la somme des primitives : F(x) + G(x) + k
    où f(x) = F '(x) et g(x) = G '(x)
  • produit par une constante "a" : si F(x) est la primitive de f(x), alors aF(x) est la primitive de af(x).
  • La primitive de xⁿ est xⁿ⁺¹/(n+1) pour tout n réel ≠ −1.
    S'applique aussi pour n = −2, −3, . . . , (1/2), (3/2), (−1/2), . . .
    n=−1 : La primitive de 1/x est ln(x)
  • Intégration par parties : (u v)' = u' v + u v'   ⇒   ∫ u' v dx = u v − ∫ u v' dx
    exemple : ∫ 1 × ln(x) dx = x ln(x) − ∫ x (1/x) dx = x ln(x) − ∫ 1 dx = x ln(x) − x
    où u'=1 et v=ln(x)   donc   u=x et v'=1/x
• Tableau des primitives simples :

  fonction	0	a	x	x2	x3	xn	a x	a x + b	a x2 + b x + c
  → primitive	k	ax+k	x2 2 + k	x3 3 + k	x4 4 + k	xn+1 n+1 + k	ax2 2 + k	ax2 2 + bx + k	a x3/3 + b x2/2 + c x + k

   

  fonction	1 x	1 x2	1 xn	√x	= x1/2	1 √x	ex	ln(x)
  → primitive	ln(x) + k	−1 x + k	−1 (n−1)xn−1 + k	2x√x 3 + k	2x3/2 3 + k	2√x + k	ex + k	x(ln(x)−1) + k

• Exemples de primitives de fonctions composées simples : u = ax+b => u' = a

  fonction	ax+b	(ax+b)3	eax+b
  → primitive	(ax+b)2 2a + k	(ax+b)4 4a + k	eax+b a + k

• Pourquoi les primitives sont plus difficiles à calculer que les dérivées ?
  • On peut calculer des dérivées compliquées grâce à : f(u(x)) ' = f '(u) u'
    exemple : e^x² ' = 2 x e^x²
  • Il n'y a pas l'équivalent de (f(u))' = f '(u) u'
    Si l'intégrale est de la forme ∫ f(u) u' dx, elle se simplifie :
    le changement de variable x → u donne ∫ f(u) u' dx = ∫ f(u) du = F(u)
  • Il n'y a pas de formule pour la primitive d'un produit (ou d'un quotient) :
    l'intégration par parties : ∫ u' v dx = u v − ∫ u v' dx
    demande une nouvelle primitive
    utile si u' = e^x, sin(x), cos(x)   et v = polynôme(x)
      on intègre u' sans le compliquer et v diminue d'un degré à chaque intégration par parties
  • Dans les autres cas, par exemple I = ∫ 1/(e^x+1) dx
    Il faut faire des changements de variables qui ne sont pas certains d'aboutir à une fonction connue.
    I = ∫ e^−x / (1 + e^−x) dx
    on a maintement la forme u'/(1+u)
    on fait le changement de variable u = e^−x : du = −u dx
    I = ∫ u / (1 + u) (−du/u)
    I = −∫ 1/(1 + u) du
    I = − ln(1 + u)
    I = − ln(1 + e^−x)
    I = − ln( (1 + e^−x) e^x / e^x )
    I = − ln( (e^x+1) / e^x )
    I = − ln( e^x+1 ) + ln( e^x )
    I = − ln(e^x+1) + x
  • autre exemple : ∫ e^−x2 dx
    la primitive est une nouvelle fonction : (√π/2) erf(x)
    comme ∫ x⁻¹ dx était une nouvelle fonction ln(x)

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