BAC Maths ES Asie 2012 Q.C.M. Sujet Asie 2012 (Exercice 1, page 2)

• 1) on augmente de 20 % à partir de 100,
  puis on diminue de 20 % à partir de 120 !
  • les premiers 20 % valent 20, mais les seconds 20 % partent d'un plus grand nombre ils sont donc plus grands.
  • → le résultat final est une diminution.
  • calculs : 0,20 × 120 = 2 × 12 = 24   ;   120 − 24 = 96 = 100 − 4
  • (1 + 20 %) × (1 − 20 %) = (1 − 4 %) Ce prix a baissé de 4 %
  • piège : penser que +20 % et −20% se compensent : non, car ils ne partent pas du même montant.
• 2) f(x) = x² (ln x + 3) = u v   avec u = x²   et v = (ln x + 3)
  • u' = 2x   et v' = 1/x
  • f '(x) = u' v + u v' = 2x (ln x + 3) + x² /x = 2x ln x + 6x + x = 2x ln x + 7x = x (2 ln x + 7)
  • f '(x) = x (2 ln x + 7)
  • aucun piège
• 3) ln x − 1 ≤ 0
  • ln x ≤ 1
  • ln x ≤ ln e
  • Comme la fonction ln() est croissante, elle garde les inégalités : x ≤ e
  • Attention : en passant de ln(x) à x, nous avons perdu l'information : ln x est définie pour x > 0
  • Donc : 0 < x ≤ e : L'ensemble des solutions de ln x − 1 ≤ 0 est ] 0 ; e ]
  • piège 1 : oublier le domaine de définition initial de ln(x)
    Comme il y a 2 intervalles avec " ... ; e ] ", il faut se demander s'il n'y a pas un piège.
  • piège 2 : oublier que "ln" est prioritaire sur "−" : ln(x − 1) ≤ 0
    Qui donnerait : ln(x − 1) ≤ ln(1)   soit   x − 1 ≤ 1   ou   x ≤ 2 [sans oublier (x − 1) > 0] :
    x ∈ ] 1 ; 2 ] ne fait pas partie des réponses proposées
• 4) ∫₂³ f(x) dx = F(3) − F(2)
  • F(3) ≈ 3,2   et   f(2) = 0
  • 3 est légèrement > e   donc   ln 3 est légèrement > 1   pour arriver à 3,2 : il faut le multiplier par 3
  • L'intégrale ∫₂³ f(x) dx = 3 ln 3
  • piège : penser que la courbe est celle de f(x) et mesurer l'aire sous la courbe ≈ 1,5
• Remarque générale : parmi les solutions proposées,
  la bonne réponse est souvent parmi les réponses les plus proches.
  C'est logique : si l'on veut obliger les candidats à calculer le résultat.
  • 1) a augmenté de 4 %   ::   a diminué de 4 %
  • 2) 2x ln x + 5x   ::   x(2 ln x + 7) = 2x ln x + 7x
  • 3) ] −∞ ; e ]   ::   ] 0 ; e ]
  • 4) il y a 2 couples comparables : (ln 3 / 3   ::   3 ln 3) et (ln 3   ::   − ln 3) donc pas de réduction des solutions possibles.
  • Je ne recommande pas de répondre au hasard entre les 2 propositions les plus proches,
    Mais si l'on trouve une réponse en dehors de ces 2 propositions, on doit vérifier ses calculs.
• Pour être sûr de sa réponse :
  justifier que les autres réponses proposées sont fausses (à faire en extra temps)

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