Bac ES 2014 Afrique Exercice 2 Corrigé

Bac ES 2014 Afrique Exercice 2 Corrigé

Enoncé voir Exercice 2
A) étude de la fonction : f(x) = x e^x²−1
A.1.a) dérivée : f(x) est de la forme u v avec u = x et v = e^x²−1
v est de la forme e^w avec w = x²−1 w' = 2x
u' = 1 et v' = w' e^w = 2x e^x²−1
f '(x) = u' v + u v' = 1 × e^x²−1 + x × 2x e^x²−1 = (2x² + 1) e^x²−1
A.1.b) en déduire la variation de f sur R :
signe de f '(x) : x² est toujours positif donc (2x² + 1), de même que l'exponentielle
f '(x) > 0 sur R donc f(x) est croissante sur R

A.2) une fonction est convexe si sa dérivée seconde est positive :
étude du signe de f ''(x) = 2 x (2 x² + 3) e^x²−1 : tableau de signes

x	−∞	0	∞
2 x	−	0	+
2 x² + 3	+	3	+
e^x²−1	+	1/e	+
f ''(x)	−	0	+
f(x)	concave		convexe

f(x) est convexe sur l'intervalle ] 0 ; ∞ [

A.3) h(x) = x (1 − e^x²−1) sur R
A.3.a) justifier 1 − e^x²−1 ≥ 0 <=> x appartient à [−1 ; 1]
- 1 − e^x²−1 ≥ 0 <=> 1 ≥ e^x²−1
- Soit e⁰ ≥ e^x²−1
- Comme e^x est une fonction croissante : l'inégalité précédente sur les ordonnées
  équivaut à l'inégalité sur les abscisses : 0 ≥ x²−1
- Soit 0 ≥ (x − 1) (x + 1)
- cette inéquation est vraie pour x entre les racines : [−1 ; 1] car le coefficient de x² est positif.
  (et fausse en dehors des racines)
A.3.b) signe de h(x) sur [−1 ; 1] : tableau de signes

x −1 0 1

x − 0 +

1 − e^x²−1 + +

h(x) − +
A.3.c) positions relatices de C_f et D(y=x) sur [0 ; 1]
h(x) = x − f(x) = y(D) − y(C_f)
comme h(x) > 0 sur [0 ; 1], D est au-dessus de C_f
A.4) H(x) = (1/2)x² − (1/2) e^x²−1
I = ∫₀¹ h(x) dx = H(1) − H(0)
I = [ (1/2) − (1/2) e⁰ ] − [ − (1/2) e⁻¹ ]
I = [ (1/2) − (1/2) ] − [ − (1/2) e⁻¹ ]
I = − [ − (1/2) e⁻¹ ]
I = (1/2) e⁻¹
I = 1 / (2 e)
B.1) lecture graphique de C_f : x = 0,80 → masse salariale = f(0,80) = 0,5
80 % des employés les moins rémunérés reçoivent 50 % de la masse salariale
B.2.a) A_f = aire entre D et C_f sur [0 ; 1]
- indice de Gini de f : I_f = 2 A_f
- A_f = 1 / (2 e) (calculé à la question A.4)
- d'où : I_f = 2 A_f = 1/e
B.2.b) C_g est systématiquement au-dessous de C_f
donc l'aire A_g entre la droite D et C_g est supérieure à A_f
l'indice de Gini de g > l'indice de Gini de f
l'entreprise F a une distribution des salaires plus égalitaire que G

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