Bac ES 2014 Afrique Exercice 4 Corrigé

• Enoncé voir Exercice 4
• 1.a) Pour la loi normale, 95 % des résultats sont dans l'intervalle [ μ − 1,96 σ ; μ + 1,96 σ ]
  ici, μ = 250 et σ = 10
  si l'on arrondi 1,96 à 2, on obtient l'intervalle [ 230 ; 270 ] qui contient celui que propose l'énoncé
  l'affirmation 1 est Vraie.
• 1.b) Pour la loi normale, 50 % des résultats sont inférieurs à la moyenne μ
  50 % des résultats sont inférieurs à 250 pages
  Il y a donc plus de 50% des cartouches qui ont une durée de vie < 300 pages
  (et même pratiquement la totalité)
  l'affirmation 2 est Fausse.
• 2) On considère la variable Y = moyenne( X > 250 pages ) sur 1000 tirages
  de moyenne : p = 0,80   (moyenne à contrôler)
  validité de la loi des grands nombres :
  • tirage de Bernouilli : une cartouche a une durée de vie > 250 pages est VRAI (ou FAUX)
  • échantillon : n tirages de Bernouilli = loi Binomiale
  • la moyenne d'un échantillon suit une loi Normale (Loi des grands nombres)
  • n = 1000 > 30
  • n p = 800 > 5
  • n (1 − p) = 200 > 5
  • la moyenne de l'échantillon suit une loi normale.
  estimation de l'écart-type de la moyenne de l'échantillon connaissant p : σ = √p(1−p)/n = 0,0126
  95 % des résultats devraient être dans l'intervalle [0,80 − 2 × 0,0126 ; 0,80 + 2 × 0,0126]
  soit l'intervalle intervalle [0,7748 ; 0,8252 ]
  inclus dans l'intervalle [ 0,77 ; 0,83 ]
  la moyenne de l'échantillon vaut 760 / 1000 = 0,76
  elle est en dehors de l'intervalle de confiance à 95 %
  l'affirmation 3 est Fausse.
  (remarque : si l'on avait pris un intervalle de confiance à presque 100 %,
  l'intervalle aurait été plus large et nous n'aurions pas pu dire que l'affirmation est fausse :
  avec l'intervalle de confiance à 95 %, il reste 5 % de chance qu'elle soit vraie)
• 3) la variable Z = moyenne(client satisfait) suit une loi normale si n p > 5
  p de la population étant inconnu, on prend la valeur qui donne l'écart-type maximal : 0,5
  σ = √p(1−p)/n = √1/(4n)
  amplitude de l'intervalle de confiance à 95 % : 4 σ = 4 % = 0,04
  σ = 0,01
  σ² = 0,0001 = 1/(4n)    (on multiplie chaque membre par 10000)
  1 = 10000 / (4n)
  n = 10000 / 4 = 2500 = le quart des clients
  l'affirmation 4 est Vraie.
  la moyenne de la population sera à 95 % dans l'intervalle [ f_échantillon − 1/√2500 ; f_échantillon + 1/√2500 ]
  = [ f_échantillon − 0,02 ; f_échantillon + 0,02 ]

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