Bac ES 2014 Métropole Exercice 1 Corrigé

• Enoncé voir Exercice 1
• 1) arbre de probabilité :
  • 1.a) P_A(B) = 0,3   ( branche du graphe allant de A à B )
  • 1.b) P(A inter B) = P(A) × P_A(B) = 0,18
  • 1.c) P_A(B) = 0,7   ( branche du graphe allant de A à B )
  • 1.d) P(B) = P(A inter B) + P(A inter B)
    P(B) = P(A) × P_A(B) + P(A) × P(A inter B)
    P(B) = 0,6 × 0,3 + 0,4 × 0,2 = 0,26
• 2) identique à la question 1.d) :
  P(B) = 0,6 × 0,3 + 0,4 × 0,2 = 0,26
  remarque : on voit que la réponse 1.d) est fausse pouisqu'elle n'apparaît dans aucune des 4 propositions de la question 2)
• 3) f(x) sur [1 ; 15]
  • 3.a et 3.b) une primitive est définie à une constante près elle ne peut pas être positive ou négative.
      car on peut toujours ajouter une constante pour changer son signe.
  • 3.c et 3.d) pour étudier la variation de F(x), on étudie le signe de sa dérivée : f(x)

    x	1		3		4		12		15
    f(x)	3	+	0	−	−2	−	−1	−	−3
    F(x)		↑		↓		↓		↓

    • 3.c) F(x) est décroissante sur [4 ; 12]
    • 3.d) F(x) est croissante sur [1 ; 3]
• 4) équation : ln(x) + ln(x+3) = 3 ln(2)
  comme ln(ab) = ln(a) + ln(a)   :   ln(x) + ln(x+3) = ln[x(x+3)] = ln(x²+3x)
  comme ln(aⁿ) = n ln(a)   :   3 ln(2) = ln(2³) = ln(8)
  l'équation devient   :   ln(x²+3x) = ln(8)
  comme ln(x) est une fonction croissante   :   ln(x²+3x) = ln(8) <=> x²+3x = 8 (réponse d)
• 5) g(x) = 5/x   une primitive de g(x) est G(x) = 5 ln(x)
  • 5.a et 5.c) l'aire sous la courbe sur [2 ; 6] = ∫₂⁶g(x) dx = [G(x)]₂⁶ = G(6) − G(2)
      aire = 5 ln(6) − 5 ln(2) = 5 [ln(6) − ln(2)] = 5 ln(6/2) = 5 ln(3)
  • 5.b) 1/(6−2)∫₂⁶g(x) dx   est la moyenne de g(x) sur [2 ; 6]
  • 5.d) g(6) − g(2)   est le dénivelé de g(x) sur [2 ; 6]

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