Bac ES 2014 Math Polynésie Exercice 1 Corrigé

• Enoncé voir Exercice 1
• Exercice 1 Partie A :
  les candidats aux CPGE sont un échantillon de la population des jeunes entre 15 et 24 ans.
  • Quand on prend un jeune entre 15 et 24 ans au hasard,
    on a une probabilité P(F) = 0,492 d'obtenir une fille.
    C'est un tirage de Bernouilli de probabilité p = P(F) = 0,492 : B(p=0,492)
  • Si l'on pratique autant de tirages de Bernouilli que d'élèves (81135 tirages)
    dans la population des jeunes entre 15 et 24 ans,
    on obtient une loi binomiale : B(p=0,492 ; n=81135)
  • Loi des grands nombres : B(p,n) → N(m=np, σ²=npq) avec q = 1 − p
    • s'applique si les 3 conditions sont vérifiées :
      n > 30, np > 5, nq > 5 : OK
    • la moyenne de l'échantillon suit la loi normale N(m/n=p, σ²=pq/n)
      a 95 % de chance d'être dans l'intervalle [ m − 2 σ ; m + 2 σ ]
      et 99,7 % de chance d'être dans l'intervalle [ m − 3 σ ; m + 3 σ ]
  • σ = √p(1−p)/n = √0,492×0,508/81135 = 0,000003080495470512109 = 3,08×10⁻⁶
    • 3 σ = 9,24×10⁻⁶
    • [ m − 3 σ ; m + 3 σ ] est inclus dans l'intervalle [ 0,491 ; 0,493 ]
    • moyenne de l'échantillon des CPGE : m = 34632 / 81135 = 0,4268441486411536
      très en dehors de l'intervalle à 3 σ
      la probabilité pour que cette sous-représentation des filles soit due au hasard est négligeable.
      Il y a une proportion moindre de filles en CPGE que dans la population des 15 à 24 ans.
• Exercice 1 partie B :
  • E1.B.1) données : P(F) = 0,427 ; P(S) = 0,615 ; P(C) = 0,24 ; P_L(F) = 0,75 ; P_S(F) = 0,30 ; P_C(F) ≈ 0,5
  • E1.B.2.a) filles en L : P(F inter L) = P(L) × P_L(F)
    • bilan en nombre : N_tot = N(S) + N(C) + N(L) que l'on divise par N_tot donne les proba. :
      1 = P(S) + P(C) + P(L)
    • P(L) = 1 − P(S) − P(C) = 1 − 0,615 − 0,24 = 0,145
    • P(F inter L) = 0,145 × 0,75 = 0,10875
  • E1.B.2.b) P(F inter S) = P(S) × P_S(F)
    • P(F inter S) = 0,615 × 0,30 = 0,1845
  • E1.B.2.c) bilan en nombre : N(F) = N(F inter S) + N(F inter C) + N(F inter L)
    • que l'on divise par N_tot donne les proba. suivantes :
    • P(F inter C) = P(F) − P(F inter L) − P(F inter S)
    • P(F inter C) = 0,427 − 0,10875 − 0,1845 = 0,13375
    • remarque : si l'on avait l'équation en nombre par N(F) au lieu de N_tot, on aurait obtenu :
      1 = P_F(S) + P_F(C) + P_F(L)
  • E1.B.3) P_C(F) = P(C inter F) / P(C) = 0,13375 / 0,24 = 0,557
    • voisin de la parité (0,5)
  • E1.b.4) P_F(L) = P(F inter L) / P(F) = 0,10875 / 0,427 = 0,255

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