Bac ES 2014 Math Pondichéry Exercice 1 Corrigé

• Enoncé voir Exercice 1
• 1) lecture graphique de la dérivée h'(−1)
  • la tangente au point d'abscisse −1 est la droite AB
  • en partant de A, on prend Δx = 1, on lit Δy = −5 pour rejoindre T
    h'(−1) = Δy / Δx = −5 ≠ −2
  • On pouvait écrire : h'(−1) = coef. directeur(T) = Δy / Δx
    connaissant 2 points de la droite :
    avec Δy = y_B − y_A
    et Δx = x_B − x_A
  • La proposition est fausse
• 2) courbe f ''(x) : question f(x) est-elle convexe sur [1 ; 4]
  • f(x) est convexe si sa dérivée f '(x) croît, donc si sa dérivée seconde f ''(x) > 0
  • Sur le graphique, f ''(x) est négative sur [ 1 ; 4 ] donc la fonction f(x) est concave.
  • remarque : la dérivée seconde f ''(x) est convexe sur [0 ; 3], mais pas f(x)
• 3) proposition : e^{5 ln(2)} × e^{7 ln(4)} = 2¹⁹
  • ln(x) est la fonction inverse de e^x, donc :
    • ln(e^x) = x
    • e^ln(x) = x   (si x > 0)
  • e^{5 ln(2)} = (e^ln(2))⁵ = 2⁵
    rappel : x^a+b = x^a × x^b
    rappel : x^a×b = (x^a)^b
  • e^{7 ln(4)} = (e^ln(4))⁷ = 4⁷ = (2²)⁷ = 2^2×7 = 2¹⁴
  • e^{5 ln(2)} × e^{7 ln(4)} = 2⁵ × 2¹⁴ = 2⁵⁺¹⁴ = 2¹⁹
  • La proposition est vraie.
• 4) proposition : l'aire sous la courbe g(x) entre x=1 et x=2 vaut 4
  • l'aire sous la courbe g(x) entre (x=a) et (x=x) est une primitive G(x) de g(x) :
    Aire sous g(x) entre (x=a) et (x=b) = G(b) − G(a)   G(x) est le cumul de g(x) depuis (x=a)
    G(x) est une primitive de g(x) : car G'(x) = g(x)
    limite (G(x+h) − G(x)) / h = h g(x) / h = g(x)
  • l'aire sous la courbe g(x) entre (x=1) et (x=2) = G(2) − G(1) = 4
  • vérification la partie grisée de la figure 1 fait à peu près la moitié du rectangle x=1, x=2, y=0, y=8
  • La proposition est vraie.

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