Math. Terminale ES

• Calcul de (a+b)ⁿ :
  • (a+b)² = (a+b) × (a+b) = a² + 2 ab + b²
  • (a+b)³ = (a+b) × (a+b) × (a+b) = a³ + 3 a²b + 3 ab² + b³
  • ...
  • (a+b)ⁿ = aⁿ + n aⁿ⁻¹b + [n(n−1)/2] aⁿ⁻²b² + ... + n abⁿ⁻¹ + bⁿ
  On remarque que tous les termes ont le même degré global : degré de a + degré de b = n :
  les termes sont de la forme a^n−kb^k pour k ∈ [[ 0 ; n ]]
  le coefficient du terme a^n−kb^k est "k parmi n" = n! / ( k! (n−k)! )
  remarque : "k parmi n" = "n−k parmi n"
  les k termes b de b^k peuvent venir des n termes (a+b), les termes a provenant des (n−k) autres termes (a+b).
• graphe pour le cas n = 7 : (a+b)⁷
  • On remplit le graphe de gauche à droite
  • à gauche, au sommet du graphe on a : (a+b)⁰ = 1
  • l'arête qui va vers le haut correspond à une multiplication par a
    l'arête qui va vers le bas correspond à une multiplication par b
  • première colonne : elle contient 1 et 1 ; soit : 1 × a + 1 × b
  • deuxième colonne :
    • a² provient de l'arête haute partant de a

    • ab provient :	soit de l'arête basse partant de a	d'où le coefficient 2
      	soit de l'arête haute partant de b

    • b² provient de l'arête basse partant de b
  • Un terme au bord du graphe vaut toujours 1 car il provient d'un seul terme valant 1
  • Un terme de l'intérieur du graphe est égal à la somme des 2 termes qui le produisent.
    Que l'on peut traduire par : "k+1 parmi n+1" = "k parmi n" + "k+1 parmi n"
    "k parmi n" a^kb^n−k mutiplié par a devient : "k parmi n" a^k+1b^n−k
    "k+1 parmi n" a^k+1b^n−k−1 mutiplié par b devient : "k+1 parmi n" a^k+1b^n−k
    la somme des deux = le terme "k+1 parmi n+1" a^k+1b^n−k de (a+b)ⁿ⁺¹
    d'où : "k+1 parmi n+1" = "k+1 parmi n" + "k parmi n"

    (a + b)n	×(a+b)	=	(a + b)n+1
    "(k+1 parmi n)" termes ak+1bn−k−1	× a		...
    	× b	=	"(k+1 parmi n+1)" termes ak+1bn−k
    "(k parmi n)" termes akbn−k	× a
    	× b	=	"(k parmi n+1)" termes akbn+1−k
    "k−1 parmi n" ak−1bn−k+1	× a
    	× b		...

    "k parmi n+1" = "k parmi n" + "k−1 parmi n"
  graphe sur 7 niveaux
  
• Loi binomiale B(n,p) :
  On compte le nombre de succès de n tirages de Bernouilli de probabilité de succès p constante.
  Qui se traduit par le graphe du produit (p + (1−p))ⁿ = 1ⁿ = 1
  • succès : arête qui part vers le haut avec la probabilité p
  • échec : arête qui part vers le bas avec la probabilité (1−p)
  probabilité de k succès parmi les n tirages : P(k) = "k parmi n" p^k (1−p)^n−k

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