Suites Arithmético-géométriques

Suites Arithmético-géométriques

Définition par récurrence : u_n+1 = q u_n + r ; et u₀ est donné
Remarque 1 : Limite de la suite, si elle converge :

Soit L la constante qui vérifie l'équation : L = q L + r
d'où : L = r / ( 1 − q )

Remarque 2 : Quand on soustrait l'équation de L à l'équation de définition de (u_n) :

u_n+1 = q u_n + r

L = q L + r

(u_n+1 − L) = q (u_n − L)

La suite ( u_n − L ) est géométrique de raison q

la suite v_n = u_n − L est une suite géométrique de raison q
démonstration quand L est donné : mettre v_n+1 sous la forme q v_n
- définition de (v_n) appliquée en n+1 :
  v_n+1 = u_n+1 − L
- définition de (u_n+1) :
  v_n+1 = q u_n + r − L
- comme : u_n = v_n + L :
  v_n+1 = q ( v_n + L ) + r − L
- v_n+1 = q v_n + q L + r − L
- on trouve que : q L + r − L = 0 (car L vérifie l'équation L = q L + r)
- v_n+1 = q v_n ( suite géométrique de raison q)
- formulation explicite : v_n = v₀ qⁿ
  avec : v₀ = u₀ − L
  converge vers 0 si |q| < 1
  diverge si |q| > 1
formulation explicite de (u_n) :
- v_n = v₀ qⁿ
- u_n − L = ( u₀ − L ) qⁿ
- u_n = (u₀ − L) qⁿ + L
- (u_n) converge vers L si |q| < 1

Algorithme de calcul de (u_n) :

Initialisation :
N = 0
U = u₀
Traitement :
Tant que N < "valeur finale" faire
    U prend la valeur q U + r
    N prend la valeur N + 1
Fin de Tant que
Sortie de u_{"valeur finale"} : (car N = "valeur finale")
Afficher U

initialiser N et U avant la boucle "Tant que"
incrémenter N et U dans la boucle "Tant que"
imprimer le résultat final après la boucle "Tant que"

étude de la convergence de la suite : ( si |q| < 1 )
A partir de quel rang la convergence est-elle atteinte ? |u_n − L| < ε (avec ε donné)
- |u_n − L| = |v_n| = |v₀| |q|ⁿ < ε
- avec la calculatrice, on calcule les termes de (v_n) pour obtenir le résultat
- ou bien on "zoom" sur la courbe |u(n) − L| − ε pour obtenir la valeur n donnant zéro.
- Autre méthode avec les logarithmes :
  - |v₀| |q|ⁿ < ε
  - On prend le logarithme de l'inéquation précédente
    - la fonction logarithme étant croissante, le sens de l'inégalité n'est pas modifié
    - ln|v₀| + n ln|q| < ln(ε)
    - n ln|q| < ln(ε) − ln|v₀|
  - si |q| < 1 : ln|q| < 0 : en divisant par ln|q|, on change le sens de l'inéquation
    n > ( ln(ε) − ln|v₀| ) / ln|q|
exemple de suite arithmético-géométrique divergente :
remboursement de prêt avec des mensualités : (n = nombre de mensualités)
- capital initial : c₀
- taux d'intérêt mensuel τ : augmentation mensuelle du capital restant dû : (1 + τ) c_n
- déduction de la mensualité m : c_n+1 = (1 + τ) c_n − m
- C'est une suite arithmético-géométrique divergente puisque (1 + τ) > 1
- Mais elle est décroissante : la fin du prêt correspondant au capital restant dû = 0
- Il n'y a pas de limite, mais on utilise quand même L tel que : L = (1 + τ) L − m
  - Soit : L = m / τ
  - D'ailleurs, les mensualités doivent être supérieures aux intérêts de c₀ : m > c₀ τ
    Soit : c₀ < m / τ = L (donc la suite (v_n) < 0)
  - La suite v_n = c_n − L étant géométrique
  - c_n = (c₀ − L) (1 + τ)ⁿ + L

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