Repère tournant relativiste   [répertoire]

• Soit un disque qui tourne à la vitesse angulaire ω
  Traitement en relativité restreinte
  Sans prise en compte de l'effet de l'accélération centrifuge (relativité générale)
  les points situés à une distance r de l'axe vont à une vitesse v = ω r
  qui devient > c pour r > c / ω : c'est la première limite du problème.
  les longueurs autour d'un point du disque vont se contracter dans le sens de la vitesse.
  ce qui va induire des contraintes physiques dans le disque !
  si le disque est souple, il va se courber.
• Ce que voit un observateur extérieur au repos :
  Le disque au repos est maillé en coordonnées polaires (r,φ) de 0 à r_max = c / ω
  Les longueurs et les temps sont toujours mesurés par des aller-retour de lumière.
  Dans un repère : chaque point du maillage doit maintenir sa distance au repos avec ses voisins.
  Maintenant, on met le disque en rotation à la vitesse angulaire ω : (c=1)
  D'où la contraction des longueurs pour garder la vitesse de la lumière égale à c.
• périmètre : p(r) = α 2 π r   avec α² = 1 − v² = 1 − (ω r)²
  tracé du périmètre avec r ∈ [ 0 ; c/ω ]
  p(r) = √1 − (ω r)² 2 π r
  p'(r) = − 2 ω (ω r) / [2 √1 − (ω r)²] 2 π r + √1 − (ω r)² 2 π
  p'(r) = − (ω r)² / √1 − (ω r)² 2 π + √1 − (ω r)² 2 π
  p'(r) = 2 π [ 1 − (ω r)² − (ω r)² ] / √1 − (ω r)²
  p'(r) = 2 π [ 1 − 2 (ω r)² ] / √1 − (ω r)²
  Maximum : p'(r) = 0   pour r = 1 / (ω √2)   ou (ωr)² = 1/2
  p(1/(ω√2)) = 1/√2 2 π / (ω√2) = π / ω

  r	0		1/(ω√2)		1/ω
  p'(r)	+		0	−
  p(r)	0	↗	π/ω	↘	0

  Arrivé à r = 1/(ω√2) le périmètre cesse d'augmenter :
  le disque revient sur lui-même jusqu'à ce que le périmètre soit nul
    quand le bord va à la vitesse de la lumière.
  Une troisième dimension permet de visualiser la géométrie du disque avec les longueurs euclidiennes
   
• Représentation 3D avec une courbure explicite :
  Le disque est courbé pour donner le bon périmètre : p(r) = 2 π R
  La déformation en z (⊥ disque au repos) permet de retrouver le rayon radial r
  r (radial) est mesuré en suivant la surface courbée du disque : r = ∫_S dr
  métrique spatiale du disque courbé : dr² = dR² + dz²
  le périmètre p(r) = 2πR = √1 − (ω r)² 2 π r
  Élimination de R : R = √1 − (ω r)² r
  condition R réel : r < 1/ω
  dR/dr = [ 1 − 2 (ω r)² ] / √1 − (ω r)²
  la métrique spatiale est : dr² = dR² + dz²
  on en déduit : dz/dr = √1 − (dR/dr)²
  (dz/dr)² = 1 − [ 1 − 2 (ω r)² ]² / (1 − (ω r)²)
  (dz/dr)² = [ 1 − (ω r)² − 1 + 4 (ω r)² − 4 (ω r)⁴ ] / (1 − (ω r)²)
  (dz/dr)² = [ 3 (ω r)² − 4 (ω r)⁴ ] / (1 − (ω r)²)
  (dz/dr)² = (ω r)² [ 3 − 4 (ω r)² ] / (1 − (ω r)²)
  dz/dr = (ω r) √3 − 4 (ω r)² / √1 − (ω r)²
  condition dz/dr réel : r < √3/(2ω)   ou (ωr)² < 3/4
  Intégration littérale de z(r) : (faite avec Sagemath)
  z(r) = ( log(−8 (ω r)² + 4 √4 (ω r)⁴ − 7 (ω r)² + 3 + 7) − 4 √4 (ω r)⁴ − 7 (ω r)² + 3 ) / (8 ω)
  Intégration numérique possible (ordre 2) :
  z_i+1 = z_i + (dz/dr)_i+1/2 dr
  

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