Bac ES 2014 Afrique Exercice 3 Corrigé Suite Arithmético-Géométrique

• Suite Arithmético-Géométrique (généralités)
• Enoncé voir Exercice 3
• 1.a) Le nombre d'élèves inscrits au lycée pour 2013 est u₀ = 500
  entre 2013 et 2014, on perd 30 % de l'effectif : 0,30 × 500 = 150
  et il arrive 300 nouveaux élèves
  u₁ = 500 − 150 + 300 = 650
• 1.b) entre 2014 et 2015 : on perd 0,3 × 650 = 195 et on gagne 300 :
  u₂ = 650 − 195 + 300 = 755
• 2) u_n+1 = u_n − 0,3 × u_n + 300
  u_n+1 = (1 − 0,3) u_n + 300 = 0,7 u_n + 300
• Algorithme : afficher tous les termes de la suite de u₀ à u_n
  • la formule de la suite : 0,7 u + 300 est bonne pour les 3 algorithmes.
  • Algorithme 1 : dans la boucle on affiche u avant de le calculer : il manquera l'affichage du dernier u_n
    le premier u affiché est u₀ et le dernier u_n−1
  • Algorithme 2 : dans la boucle on affiche u avant de le calculer, mais on affiche aussi u après la boucle :
    tous les termes de u₀ à u_n sont affichés
  • Algorithme 3 : on affiche u après la boucle :
    seul le dernier terme u_n est affiché
  • le résultat souhaité est obtenu avec l'algorithme 2
• 4) v_n = u_n − 1000
• 4.a) (v_n) est une suite géométrique si : v_n+1 = q v_n
  • définition de (v_n) en n+1 : v_n+1 = u_n+1 − 1000
  • définition de (u_n) : v_n+1 = 0,7 u_n + 300 − 1000 = 0,7 u_n − 700
  • u_n = v_n + 1000
  • v_n+1 = 0,7 ( v_n + 1000) − 700 = 0,7 v_n + 700 − 700 = 0,7 v_n
  • (v_n) est une suite géométrique de raison q = 0,7
• 4.b) valeur explicite de v_n : v_n = 0,7ⁿ v₀
  • v₀ = u₀ − 1000 = 500 − 1000 = −500
  • v_n = 0,7ⁿ v₀ = − 500 × 0,7ⁿ
  • u_n = − 500 × 0,7ⁿ + 1000
• 4.c) limite de la suite u_n : quand n → ∞ 0,7ⁿ → 0
  car qⁿ → 0 si |q| < 1
  u_n → − 500 × 0 + 1000 = 1000
• 4.d) Cela signifie que le nombre d'élèves va augmenter jusqu'à 1000 et se stabiliser à cette valeur.
  (remarque la suite est croissante : on soustrait 0,7ⁿ qui diminue)
• 5.a) résoudre : u_n ≥ 990 dans N
  Soit : − 500 × 0,7ⁿ + 1000 ≥ 990
  ou encore : 10 ≥ 500 × 0,7ⁿ
  ou encore : 10/500 = 1/50 = 0,02 ≥ 0,7ⁿ
  (remarque : avec les logarithmes : ln(0,02) ≥ n ln(0,7) soit n ≥ ln(0,02) / ln(0,7) = 10,9 donc n ≥ 11)
  avec la calculatrice, on calcule les termes de la suite u_n
  on obtient un encadrement de 990 : u_n−1 < 990 ≤ u_n
  u₁₀ = 985,88 < 990 < u₁₁ = 990,11
  n ≥ 11 satisfait l'inéquation u_n ≥ 990
• 5.b) quand n varie de 11 à l'infini, (u_n) passe de 990 à 1000.
  on a atteint la limite à 10 % près.

retour au menu :   math TES