Maxwell's equations
Remarques :

• notations : gradient f = ∇ f         divergence V = ∇ · V         rotationnel V = ∇ × V
  Potentiel scalaire : φ         Potentiel vecteur : A
• μ₀ = 1 / (ε₀ c²) ou encore : ε₀ μ₀ c² = 1   (μ₀ permet de remplacer c² dans la quatrième équation)
• la densité de courant j = ρ v
• ε₀ ∂E/∂t = j_D est une densité de courant de déplacement
• l'espace est continu, les charges sont volumiques : q = ∫_V ρ dV
• Les charges ne se voient pas : elles ne connaissent que les champs dans leur voisinage.

forme locale (E,B)	forme intégrale (E,B)	potentiels (φ,A)
∇ · E = ρ / ε0	∮S E dS = q / ε0	∇2φ − (1/c2) ∂2φ/∂t2 = − ρ / ε0
∇ · B = 0	∮S B dS = 0	B = ∇ × A
∇ × E = −∂B/∂t	∮C E dL = − ∂(∫S B dS)/∂t	E = − ∇ φ − ∂A/∂t
c2 ∇ × B = j / ε0 + ∂E/∂t	c2 ∮C B dL = (1/ε0) ( I(S) + ID(S) )	∇2A − (1/c2) ∂2A/∂t2 = − j / (ε0 c2)
∇ · j + ∂ρ/∂t = 0	∮S j dS = − dq / dt

qφ est une énergie et qA est une quantité de mouvement
Soit une fonction Φ arbitraire : Si (φ₀, A₀) sont des solutions, (φ, A) aussi.

A = A0 + ∇ Φ

φ = φ0 − ∂Φ/∂t

"Jauges" usuelles : (fixent la valeur de la fonction Φ précédente)

Lorentz	∂μ Aμ = ∇ · A + (1/c2) ∂φ/∂t = 0	=> Equation 4D	∂μ ( ∂μAν − ∂νAμ ) = ∂μ Fμν = jν
Coulomb	∇ · A = 0

• La première équation de Maxwell signifie qu'une charge q est équivalente à une singularité de l'espace d'où sort un champ électrique.
• La seconde équation de Maxwell signifie que le champ B est conservatif : il n'y a pas de charge magnétique (par exemple : un pôle nord tout seul).
• La troisième équation de Maxwell signifie que la variation du flux(B) à travers une boucle fermée crée un champ électrique le long de cette boucle.
  Si cette boucle est un fil conducteur : un courant apparaît qui crée un champ magnétique opposé à la variation de B.
• La quatrième équation de Maxwell signifie que des charges se déplacent sous l'effet de la variation du champ électrique et créent ainsi un courant temporaire (dit de déplacement) qui s'ajoute au courant dû au déplacement des charges.
  Cette polarisation du vide explique qu'un courant variable peut traverser le vide d'un condensateur.
• La cinquième équation traduit la conservation des charges électriques. (elle se déduit des équations 1 et 4)
  ∇·(∇×B) = 0 = ∇ · j + ε₀ ∂(∇·E)/∂t   =>   ∇ · j + ∂ρ/∂t = 0
• On peut se représenter le champ électrique comme une séparation de 2 particules de charges opposées (e⁺, e⁻) capable d'emmagasiner l'énergie électrostatique du champ.
  A l'époque de Maxwell, cette interprétation pouvait choquer, mais avec la mécanique quantique qui admet l'apparition temporaire de paires de particules, l'espace est devenu polarisable (comme la matière).

Solutions des équations de Maxwell en potentiels :

• Pour une densité de charge dans le volume V₀
  • φ(r,t) = ∫ ρ(r₀, t − |r−r₀|/c) / ( 4 π ε₀ |r−r₀| ) dV₀
  • A(r,t) = ∫ j(r₀, t − |r−r₀|/c) / ( 4 π ε₀ |r−r₀| ) dV₀
  • B = ∇ × A
  • E = − ∇ φ − ∂A/∂t
• Pour une charge "ponctuelle" q située en r₀, de vitesse v :
  • φ(r,t) = q / ( 4 π ε₀ [ r − ( v · (r−r₀) / c ) ]_ret )
  • A(r,t) = q v / ( 4 π ε₀ c² [ r − ( v · (r−r₀) / c ) ]_ret )
  • Si v et r sont dans le même sens, la charge q se déplace vers le point (r,t) et elle agît plus longtemps.
• Force exercée par les champs (E,B) sur une charge (q, v) : F = q ( E + v × B )
• Pour amener une charge q d'un potentiel nul à un potentiel φ, il a fallu remonter un champ E = −∂φ/∂x
  si le champ E est étalé sur Δx : E = − φ / Δx
  Il a fallu fournir le travail opposé à la résistance W = q E Δx = − q φ
  La charge q dans le potentiel φ possède l'énergie potentielle q φ
  Sa masse effective = E_tot = m c² + q φ
• Aharonov-Bohm effect : Une charge au repos (m v = 0) dans un potentiel vecteur A a une impulsion p = q A
  Si on supprime le potentiel A en un temps Δt : Il apparaît un champ E = −∂A/∂t = A / Δt
  Qui produit une variation d'impulsion Δp = F Δt = q E Δt = q A
  Pour amener la charge dans le potentiel A (ou pour créer un potentiel A à l'endroit de la charge), il a certainement fallu lui fournir p = q A.
  la charge q dans le potentiel A possède l'impulsion potentielle q A
  l'impulsion mv correspond à l'énergie cinétique E_cin et l'impulsion mv + qA correspond à l'énergie mécanique E_cin + V
• Les potentiels ne sont pas bien définis (invariance de jauge).
  Mais cela n'a pas d'importance à condition de garder le même choix pour tous les calculs.
  Pour avoir une signification vraiment physique, ces grandeurs doivent être mieux définies.

Equations détaillées
Cours UPMC
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